2011년08월21일 88번

[사회통계]
한 도시의 취업적정연령인 사람들 중 1000명을 임의추출(random sampling)하여 조사한 결과 40명이 실업자였다. 실업률 p에 대한 95% 신뢰구간을 구하면?(단, P(Z>1.96)=0.025, Z~N(0,1))

① (0.0279, 0.0521)
② (0.0298, 0.0502)
③ (0.0241, 0.0559)
④ (0.0179, 0.0421)

(정답률: 26%)

문제 해설

이 문제는 큰 수의 법칙(Law of Large Numbers)을 이용하여 풀 수 있다. 큰 수의 법칙은 샘플의 크기가 커질수록 표본평균이 모평균에 수렴한다는 것을 말한다. 따라서, 이 문제에서는 샘플의 크기가 충분히 크기 때문에 표본비율인 0.04이 모비율인 p에 대한 좋은 추정치가 된다.

신뢰구간은 다음과 같이 계산할 수 있다.

$hat{p} pm Z_{alpha/2} sqrt{frac{hat{p}(1-hat{p})}{n}}$

여기서, $hat{p}$는 표본비율, $Z_{alpha/2}$는 표준정규분포에서 $alpha/2$에 해당하는 값, $n$은 샘플의 크기이다.

이 문제에서는 $hat{p}=0.04$, $Z_{alpha/2}=1.96$ (95% 신뢰수준에서), $n=1000$ 이므로,

$0.04 pm 1.96 sqrt{frac{0.04(1-0.04)}{1000}}$

$= 0.04 pm 0.0121$

$= (0.0279, 0.0521)$

따라서, 정답은 "(0.0279, 0.0521)"이다. 이는 모비율 p가 95%의 신뢰수준으로 2.79%에서 5.21% 사이에 존재할 것으로 추정된다는 것을 의미한다.

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